Nguyên lý Đalămbe Cơ lý thuyết | wiki

Nguyên lý Đalămbe Cơ lý thuyết

Nguyên lý Đalămbe trong cơ học cổ điển là sự mở rộng của công ảo từ các hệ thống tĩnh sang động. Nói một cách dễ hiểu, nó là một dạng thay thế của chuyển động theo định luật thứ hai của Newton. Nguyên lý này được đưa ra bởi nhà vật lý và toán học người Pháp Jean le Rond d’Alembert. Nguyên lý D’Alembert còn được gọi là nguyên lý Lagrange – d’Alembert. Mặc dù có một số cách giải thích về nguyên lý d’Alembert, về cơ bản nó có nghĩa là bất kỳ hệ lực nào cũng ở trạng thái cân bằng nếu các lực tác dụng được thêm vào các lực hư cấu. Ở đây chúng ta sẽ tìm hiểu thêm về nguyên lý d’Alembert và công thức toán học nói chung và các trường hợp đặc biệt, và các ứng dụng của nó và đi qua một số câu hỏi quan trọng. Hay cùng tham khảo với hocdientu nhé !

Nguyên lý Đalămbe Cơ lý thuyết
Nguyên lý Đalămbe Cơ lý thuyết

Nguyên lý Đalămbe Cơ lý thuyết được phát biểu

Nguyên lý D’Alembert phát biểu rằng tổng chênh lệch giữa các lực tác dụng lên một hệ hạt (có khối lượng nghỉ khác 0) và đạo hàm theo thời gian của mômen của hệ bằng 0 khi hệ được chiếu vào chuyển vị ảo.

Tuyên bố về Nguyên lý D’Alembert

Nguyên lý D’Alembert là một cách giải thích khác của định luật Newton nhưng nguyên lý trước đây là một phiên bản tổng quát hơn vì nó thay đổi một vấn đề trong động học thành tĩnh học. Nó được sử dụng để giải quyết các vấn đề trong tĩnh học, một nhánh của cơ học phân tích các hệ thống không có gia tốc và ở trạng thái cân bằng đối với môi trường của chúng. Và cũng được sử dụng để đối phó với các vấn đề trong động lực học, phù hợp với các lực hạn chế.

Biểu diễn toán học của nguyên lý D’Alembert 

Biểu diễn toán học của nguyên lý được thực hiện bằng cách sử dụng ký hiệu dấu chấm của Newton. Do đó, ở dạng tổng quát, trong một hệ thống các hạt có khối lượng thay đổi, nó được viết là :

Biểu diễn toán học của nguyên lý D’Alembert

Trong đó i là lực thực tác dụng lên hạt thứ i

i là khối lượng của hạt thứ i

i là vận tốc của hạt thứ i

i là độ dịch chuyển ảo của hạt thứ i

Hoặc, nó cũng có thể được viết là,

Biểu diễn toán học của nguyên lý D’Alembert

Trong đó i là gia tốc của hạt thứ i.

Nguồn gốc của Nguyên lý D’Alembert

  • Phương trình cho hệ khối lượng biến thiên (Trường hợp chung)

Từ phát biểu của nguyên lý D’Alembert, chúng ta phải tìm đạo hàm theo thời gian của động lượng cho một hạt thứ i có khối lượng thay đổi và tính tổng của lực tác dụng lên hạt đó. Từ Định luật 2 Newton , động lượng của hạt thứ i được cho là,

i = m i v i

Phân biệt động lượng của hạt thứ i theo thời gian,

Nhưng chúng ta biết gia tốc là a = d v / dt. Sử dụng điều này trong phương trình trên, chúng tôi nhận được,

Tổng tất cả các hạt trong hệ, ta được phương trình cho nguyên lý d’Alembert đối với hệ khối lượng biến thiên.

Phương trình cho hệ khối lượng biến thiên (Trường hợp chung)
  • Phương trình cho hệ khối lượng không đổi

Sử dụng định luật thứ hai của newton rằng gia tốc của một hạt là nhân tố của tổng lực,

Phương trình cho hệ khối lượng không đổi

Bây giờ, đối với một chuyển vị ảo i , công ảo W được thực hiện bởi tổng lực và lực quán tính lên mỗi hạt được cộng bằng 0 vì hệ ở trạng thái cân bằng. Vì vậy, chúng tôi nhận được công ảo là

Phương trình cho hệ khối lượng không đổi

Nhưng, phương trình trên không biểu thị công cho các chuyển vị tùy ý, vì vậy bây giờ bao gồm các lực ràng buộc cùng với lực tác dụng mà chúng ta nhận được,

Phương trình cho hệ khối lượng không đổi

Bây giờ nếu các chuyển vị ảo theo hướng trực giao để ràng buộc thì tổng số hạng thứ hai bằng 0, và chúng ta nhận được phương trình cuối cùng của nguyên lý d’Alembert cho hệ khối lượng không đổi là,

Đọc thêm :  Top 10 Xem Diem Tra Vinh | wiki
Phương trình cho hệ khối lượng không đổi

Phương trình cho chúng ta biết rằng, đối với một hệ động lực, không có công việc nào được thực hiện bằng sự chênh lệch giữa lực tác dụng và lực quán tính.

Các ứng dụng của Nguyên lý D’Alembert

Ở đây chúng tôi sử dụng Nguyên lý D’Alembert để giải quyết một số vấn đề nhỏ trong cơ học và hiểu rằng nguyên lý này làm cho kết quả dễ dàng phân tích.

Khối lượng rơi dưới Trường hấp dẫn

Bây giờ chúng ta sử dụng nguyên lý D’Alembert để mô tả trạng thái cân bằng của một khối lượng m rơi xuống dưới tác dụng của trường hấp dẫn không đổi g . Coi trục z có chiều dương hướng lên, khi đó lực tác dụng lên khối lượng m là −m g và công do lực này tác dụng theo phương thẳng đứng δz là δWG = – g δz . Lực quán tính của khối lượng m được cho bởi −m (d z / dt 2 ) và công của lực này khi chuyển vị thẳng đứng δz là, δW −m (d 2z / dt ) δz. 

Sử dụng Nguyên lý d’Alembert, chúng tôi đặt tổng của cả hai bằng 0 cho chúng tôi,

Hoặc, δWI + δWG = 0

Hoặc, −m g δz – m (d z / dt 2 ) δz = 0

Hoặc, – [m g + m (d z / dt 2 ) ] δz = 0,

Hoặc, (d z / dt 2 ) = – g.

Ngược lại, chúng ta đi đến kết quả mong đợi từ định luật F = ma của Newton ở đây a = (d z / dt 2 ) = −g. 

Mặc dù trong trường hợp này, Nguyên lý D’Alembert không mang lại lợi ích gì so với các thủ tục thông thường, nhưng nó trở nên hữu ích hơn trong các vấn đề có ràng buộc.

Hạt trên vòng thẳng đứng không ma sát

Trong trường hợp một hạt trượt trên một đường vòng thẳng đứng, thì trọng lực không có hướng chuyển động. Ở đây, thành phần của trọng lực trực giao với vòng và lực của vòng lên hạt hạn chế hạt chuyển động theo đường tròn không có tác dụng với hạt. Công của hạt do trọng lực tạo ra một độ dịch chuyển nhỏ δs = RδΦ (R là bán kính của vòng dây) dọc theo dây là δWG = −m g R sin Φ δΦ. Gia tốc của hạt có hai thành phần: thành phần hướng tâm và thành phần tiếp tuyến.

Đối với thành phần hướng tâm của gia tốc với vận tốc v là = −v 2 / R, 

Trong khi vận tốc tiếp tuyến là v = ds / dt

Hoặc, ds / dt = R (d Φ / dt)… .. (i)

Sử dụng a = dv / dt , chúng tôi nhận được,

Hoặc, t = dv / dt = (d / dt) (ds / dt) = d s / dt 2

Hoặc, t = R (d 2 Φ / dt 2 ) [Sử dụng (i)]

Công do thành phần hướng tâm của lực quán tính mv 2 / R thực hiện bằng không. Công được thực hiện bởi thành phần tiếp tuyến −m t = −mR (d 2 Φ / dt 2 ) được cho bởi,

δWI = −mR (d 2 Φ / dt 2 ) δs

Hoặc, δWI = −m R 2 (d 2 Φ / dt 2 ) δΦ. [Sử dụng δs = RδΦ]

Bây giờ, từ Nguyên lý của D’Alembert, chúng tôi nhận được,

Hoặc, δWI + δWG = 0

Hoặc, −mgRsinΦ δΦ. − mR 2 (d 2 Φ / dt 2 ) δs = 0

Hoặc, −mR [gsinΦ + R (d 2 Φ / dt 2 )] δs = 0

Hoặc, gsinΦ + R (d 2 Φ / dt 2 ) = 0

Hoặc, d 2 Φ / dt 2 + (g / R) sinΦ = 0

Phương trình vi phân tương tự với phương trình vi phân của SHM tuyến tính là d 2 x / dt 2 + Φx = 0 với x = Φ và

Φ = g / R (tần số góc)

Hình: Một hạt trượt không ma sát trên một vòng thẳng đứng bán kính R dưới tác dụng của trọng lực

Đọc thêm :  Top 8 Củ Kiệu Miền Bắc Gọi Là Gì | wiki

Máy Atwood

Bằng cách sử dụng nguyên lý D’Alembert, cỗ máy Atwood trở nên dễ dàng giải quyết. Trạng thái của máy được xác định bởi vị trí của hai khối lượng cùng với toạ độ hình chữ U vòng qua ròng rọc không ma sát với sợi dây. Công do trọng lực g thực hiện trên bên trái khối lượng m dưới độ dời δs được cho bởi,

δWL = −mgδs, 

Công do trọng lực tác dụng lên vật bên phải khối lượng M là δW R = Mgδs.

Tổng công do trọng lực tác dụng lên hệ hai khối lượng m và M là δWG = (M – m) gδs

Công do lực quán tính tác dụng lên hai khối lượng là,

δW I = – (M + m) (d 2 s / dt 2 ) δs

Bây giờ, từ Nguyên lý của D’Alembert, chúng tôi nhận được,

Hoặc, δWI + δWG = 0

Hoặc, δW = [(M – m) g – (M + m) ((d 2 s / dt 2 ))] δs = 0

Hoặc, d 2 s / dt 2 = g (M – m) / (M + m)

Hình: máy Atwood

Những điều cần ghi nhớ

  • Nguyên lý công ảo nói rằng đối với một hệ ở trạng thái cân bằng, sẽ không có công ảo nào được thực hiện bởi các lực tác dụng lên hệ.
  • Nguyên lý D’Alembert còn được gọi là nguyên lý Lagrange – d’Alembert, phát biểu rằng tổng sự khác biệt giữa các lực tác dụng lên một hệ các hạt (có khối lượng nghỉ khác không) và đạo hàm theo thời gian của mômen của hệ bằng không khi hệ thống được chiếu vào chuyển vị ảo.
  • Phương trình tổng quát của nguyên lý d’Alembert đối với hệ các hạt có khối lượng thay đổi là
Nguyên lý D’Alembert cho một hệ thống các hạt có khối lượng thay đổi
  • Trong đó i là lực thực tác dụng lên hạt thứ i; m i là khối lượng của hạt thứ i; i là vận tốc của hạt thứ i; i là độ dịch chuyển ảo của hạt thứ i
  • Phương trình đặc biệt cho một hệ các hạt có khối lượng không đổi được đưa ra bởi,
Phương trình đặc biệt của hệ các hạt có khối lượng không đổi
  • Các ứng dụng của nguyên lý d’Alembert là: khối lượng rơi dưới trọng lực, định lý trục song song và vòng tròn thẳng đứng không ma sát với một hạt

Những câu hỏi ví dụ

Câu hỏi. Công ảo là gì? (2 điểm)

Trả lời. Công được thực hiện bởi một tập hợp các lực tác dụng và các lực quán tính lên một hệ và chuyển nó đến một tập hợp các chuyển vị ảo được gọi là công ảo.

Câu hỏi. Nêu Nguyên lý của d’Alembert. (2 điểm)

Trả lời. Nguyên lý D’Alembert phát biểu rằng tổng chênh lệch giữa các lực tác dụng lên một hệ hạt (có khối lượng nghỉ khác 0) và đạo hàm theo thời gian của mômen của hệ bằng 0 khi hệ được chiếu vào chuyển vị ảo. Nó được biểu diễn bằng toán học bằng,

Phương trình đặc biệt của hệ các hạt có khối lượng không đổi

Câu hỏi. Nêu Nguyên lý làm việc ảo. (2 điểm)

Trả lời. Nguyên lý công ảo nói rằng đối với một hệ ở trạng thái cân bằng, sẽ không có công ảo nào được thực hiện bởi các lực tác dụng lên hệ. Điều này tương tự như các định luật của Newton phát biểu rằng đối với một hệ thống cân bằng, các lực tác dụng bằng nhau và ngược chiều với các lực ràng buộc.

Câu hỏi. Phát biểu và rút ra biểu diễn toán học của Nguyên lý d’Alembert cho một hệ khối lượng không đổi. (5 điểm)

Trả lời. Sử dụng định luật thứ hai của newton, tổng lực là

Nguyên lý D’Alembert cho một hệ khối lượng không đổi

Bây giờ, đối với một độ dời ảo i , công ảo W bằng 0 vì hệ ở trạng thái cân bằng. Vì vậy, chúng tôi nhận được công ảo là

Nguyên lý D’Alembert cho một hệ khối lượng không đổi

Phương trình trên không biểu thị công cho các chuyển vị tùy ý, vì vậy bây giờ hãy bao gồm các lực ràng buộc cùng với lực tác dụng mà chúng ta nhận được,

Nguyên lý D’Alembert cho một hệ khối lượng không đổi

Bây giờ nếu các chuyển vị ảo theo hướng trực giao để ràng buộc thì tổng số hạng thứ hai bằng 0, và chúng ta nhận được phương trình cuối cùng của nguyên lý d’Alembert cho hệ khối lượng không đổi là,

Đọc thêm :  Top 10 Kinh Đức Mẹ Tà Pao | wiki
Nguyên lý D’Alembert cho một hệ khối lượng không đổi

Câu hỏi. Một hệ quả nặng nối với nhau bằng một sợi dây và đi qua hai ròng rọc A và B được bố trí như hình vẽ bên. Bỏ ma sát và quán tính của các ròng rọc, và cho trước trọng lượng m 1 = 30N, m 2 = 20N và m 3 = 10N, gia tốc của khối m 2 là-
(2 điểm)
(a) 0,57m / s 2
(b) 2,89m / s 2
(c) 1,98m / s 2
(d) 2,07m / s 2

Câu hỏi. Tính gia tốc của vật có khối lượng 10 kg khi một lực có độ lớn 20N từ trái và lực có độ lớn 10N từ phải tác dụng lên nó từ hai phương. Giả sử rằng không có ma sát giữa bề mặt và khối. (2 điểm)

Trả lời. Công của các lực tác dụng là F = 10N

Bằng cách sử dụng định luật thứ hai của newton đó là lực F = ma

Hoặc, a = F / m

Hoặc, a = 10/10 = 1m / s 2

Do đó gia tốc của khối là 1m / s 2

Câu hỏi. Tìm gia tốc của khối có khối lượng 5kg khi tác dụng lên khối một lực có độ lớn 20N và lực có độ lớn 22N từ bên phải tạo với bề mặt một góc 60 ‘. Giả sử rằng không có ma sát giữa bề mặt và khối. (2 điểm)

Trả lời. Lực ngang từ bên phải là F1 = FcosΦ

Φ = 60 ‘thì F1 = 22.cos60’ = 11N

Công của các lực tác dụng là F = 9N

Bằng cách sử dụng định luật thứ hai của newton đó là lực F = ma

Hoặc, a = F / m

Hoặc, a = 9/5 = 1,80m / s 2

Do đó gia tốc của khối là 1m / s 2

Câu hỏi. Ứng dụng của Nguyên lý D’Alembert là gì? (2 điểm)

Trả lời. Nguyên lý D’Alembert được sử dụng để mô tả: khối lượng rơi dưới trọng lực, định lý trục song song, cỗ máy Atwood và một hạt trên một cái vòng thẳng đứng không ma sát.

Câu hỏi. Thiết lập z / dt = −g , cho một vật khối lượng m rơi dưới lực hấp dẫn g bằng cách sử dụng nguyên lý D’Alembert. Coi za xis là chiều dương hướng lên. (3 điểm)

Trả lời.  Công của lực hấp dẫn đối với khối lượng m là – g theo phương thẳng đứng δz là,

δWG = – g δz .

Lực quán tính đối với khối lượng m được cho bởi −m (d z / dt 2 ) và công của lực này khi chuyển vị thẳng đứng δz là,

δWI = −m (d z / dt 2 ) δz.

Sử dụng Nguyên lý d’Alembert, chúng tôi đặt tổng của cả hai bằng 0 cho chúng tôi,

Hoặc, δWI + δWG = 0

Hoặc, −m g δz – m (d z / dt 2 ) δz = 0

Hoặc, – [m g + m (d z / dt 2 ) ] δz = 0,

Hoặc,  d z / dt 2 = – g (thành lập).

Câu hỏi. Trong máy Artwood, hai khối có khối lượng 35 kg và 15 kg. Tính gia tốc của các khối bằng nguyên lý D’Alembert. Nếu bỏ qua ma sát do ròng rọc sử dụng g = 10m / s (5 điểm)

Trả lời. Tổng công do trọng lực tác dụng lên hệ hai khối lượng m và M là

δWG = (M – m) gδs

Công do lực quán tính tác dụng lên hai khối lượng là,

δW I = – (M + m) (d 2 s / dt 2 ) δs

Bây giờ, từ Nguyên lý của D’Alembert, chúng tôi nhận được,

Hoặc, δWI + δWG = 0

Hoặc, δW = [(M – m) g – (M + m) ((d 2 s / dt 2 ))] δs = 0

Hoặc, d 2 s / dt 2 = g (M – m) / (M + m)… .. (a)

Theo câu hỏi, M = 35 kg, m = 15 kg và g = 10m / s 2 , đưa chúng vào phương trình (a) ta nhận được gia tốc là,

a = 10 (35 -15) / (35+ 15) = 10 2/5 = 4m / s 2



Nguyên lý Đalămbe Cơ lý thuyết | wiki